Question

【題目】已知函數(shù)，函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（Ⅲ）若，求證不等式.

Answer 1

【答案】(1) g(x)的增區(qū)間，減區(qū)間;(2) ;(3)見解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)情況研究函數(shù)的單調(diào)性；（2）恒成立求參轉(zhuǎn)化為 恒成立，求到研究函數(shù)單調(diào)性和最值；（3）轉(zhuǎn)化為在上恒成立。通過求導(dǎo)研究函數(shù)單調(diào)性，求得函數(shù)最值。

（Ⅰ）g(x)的定義域?yàn)?/span> ， ， 當(dāng)時(shí)， 在上恒成立

所以g(x)的增區(qū)間，無減區(qū)間當(dāng)時(shí)，令得

令得所以g(x)的增區(qū)間，減區(qū)間 .

（Ⅱ） 即在上恒成立

設(shè)，考慮到

，在上為增函數(shù)， ，

當(dāng)時(shí)， ， 在上為增函數(shù)， 恒成立

當(dāng)時(shí)， ， 在上為增函數(shù)

，在上， ， 遞減，

，這時(shí)不合題意， 綜上所述，

（Ⅲ）要證明在上，

只需證明 ，由（Ⅱ）當(dāng)a =0時(shí)，在上， 恒成立， 再令， 在上， ， 遞增，所以 即，相加，得，所以原不等式成立.