Question

【題目】已知函數(shù)， ，

（1）若，且在其定義域上存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)， ，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)、，過(guò)線段的中點(diǎn)作軸的垂線分別交， 于點(diǎn)、，證明： 在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線不平行.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見(jiàn)解析

【解析】分析：第一問(wèn)將代入，求得的解析式，函數(shù)在定義域上存在單調(diào)遞減區(qū)間，等價(jià)于導(dǎo)數(shù)有正解，結(jié)合二次函數(shù)圖像求得結(jié)果，第二問(wèn)恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值來(lái)處理，第三問(wèn)假設(shè)存在，最后推出矛盾，從而得結(jié)果.

詳解：（1），

則

因?yàn)楹瘮?shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以有正解.

法1：因為開(kāi)口向上的拋物線且過(guò)點(diǎn)

∴，∴，∴

法2： 有正解，∴，∴

（2）

∴ .

令， ，于是

當(dāng)時(shí)， ， 在區(qū)間是減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)， ， 在區(qū)間是增函數(shù).

所以在時(shí)取得最小值， ，

因?yàn)?/span>恒成立，所以，

因，∴，∴，

令，易知關(guān)于在上單調(diào)遞增，又 ，∴.

（3）證法一.設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別是， ，不妨設(shè).

則點(diǎn)、的橫坐標(biāo)為，

在點(diǎn)處的切線斜率為

在點(diǎn)處的切線斜率為.

假設(shè)在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線平行，則.

即，則

所以.設(shè)，則， .①

令， .則.

因?yàn)?/span>時(shí)， ，所以在上單調(diào)遞增，故.

則.這與①矛盾，假設(shè)不成立.

故在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線不平行.

證法二：同證法一得.

因?yàn)?/span>，所以.

令，得， .②

令， ，則.

因?yàn)?/span>，所以時(shí)， .

故在上單調(diào)遞增，從而，即.

于是在上單調(diào)遞增.

故，即.這與②矛盾，假設(shè)不成立.

故點(diǎn)在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線不平行.