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        1. 【題目】已知函數(shù),函數(shù)的圖像為直線

          (Ⅰ)時,若函數(shù)的圖像永遠在直線下方,求實數(shù)的取值范圍;

          (Ⅱ)時,若直線與函數(shù)的圖像的有兩個不同的交點,線段的中點為 ,求證:

          【答案】(1)的取值范圍是;(2)見解析.

          【解析】

          (1)當時,若函數(shù)的圖像永遠在直線下方,轉(zhuǎn)化為上恒成立上設(shè),利用導(dǎo)數(shù)得到時取得最大值即可求解實數(shù)的取值范圍;

          2)設(shè)的橫坐標是,要證,轉(zhuǎn)化為證,

          不妨設(shè),則,轉(zhuǎn)化為證明,進而轉(zhuǎn)化為即證,令等價于證明時恒成立. 構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值,即可得到結(jié)論

          (1)當時,若函數(shù)的圖像永遠在直線下方,即

          上恒成立,即上恒成立上.

          設(shè),對求導(dǎo)得 ,

          ,

          所以時取得極大值,也是最大值,于是的取值范圍是

          (2)設(shè)的橫坐標是(不妨設(shè)),

          要證,只需證,即證,

          即證, 即證,

          ,只需證明:,

          不妨設(shè),則,所以只需證,

          即證,只需證,

          因為直線與曲線相交,所以,

          所以

          則只需證,即證:,即證(※),

          下面構(gòu)造函數(shù)證明之:因為已設(shè),且由的定義域知,

          所以令,則(※)等價于證明時恒成立.

          為此構(gòu)造函數(shù),則,

          于是當時,,即上遞增,

          ,所以恒成立,即時恒成立,

          則(※)成立,于是原命題成立.

          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】給出下列命題:

          ①已知,“”是“”的充分條件;

          ②已知平面向量,“”是“”的必要不充分條件;

          ③已知,“”是“”的充分不必要條件;

          ④命題:“,使”的否定為:“,都有”.其中正確命題的個數(shù)是( )

          A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】已知函數(shù), ,

          (1)若,且在其定義域上存在單調(diào)遞減區(qū)間,求實數(shù)的取值范圍;

          (2)設(shè)函數(shù), ,若恒成立,求實數(shù)的取值范圍;

          (3)設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于點、,過線段的中點作軸的垂線分別交 于點、,證明: 在點處的切線與在點處的切線不平行.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】已知集合.

          1)證明:若,則,;

          2)證明:若,則,并由此證明中的元素若滿足,則;

          3)設(shè),試求滿足的所有的可能值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】定義滿足不等式|xA|BARB0)的實數(shù)x的集合叫做AB鄰域.若a+btt為正常數(shù))的a+b鄰域是一個關(guān)于原點對稱的區(qū)間,則a2+b2的最小值為______

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】在物理學(xué)中,聲波在單位時間內(nèi)作用在與其傳遞方向垂直的單位面積上的能量稱聲強.日常生活中能聽到的聲音其聲強范圍很大,最大和最小之間的比值可達.用聲強的物理學(xué)單位表示聲音強弱很不方便。當人耳聽到兩個強度不同的聲音時,感覺的大小大致上與兩個聲強比值的常用對數(shù)成比例.所以引入聲強級來表示聲音的強弱.

          某一處的聲強級,是指該處的聲強P與參考聲強的比值的常用對數(shù),單位為貝爾(B),其中參考聲強/2實際生活中一般用1貝爾的十分之一,即分貝()來作為聲強級的單位,其公式為聲強級.若某工廠環(huán)境內(nèi)有一臺機器(聲源)單獨運轉(zhuǎn)時,發(fā)出噪聲的聲強級為80分貝,那么兩臺相同的機器一同運轉(zhuǎn)時(聲強為原來的兩倍),發(fā)出噪聲的聲強級為分______貝(精確到0.1分).

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如圖,直線平面,直線平行四邊形,四棱錐的頂點在平面上,,,分別是的中點.

          (1)求證:平面;

          (2)求二面角的余弦值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】某中學(xué)為了加強學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng),鍛煉學(xué)生自主探究的學(xué)習(xí)能力,他們以函數(shù)為基本素材研究該函數(shù)的相關(guān)性質(zhì),某研究小組6位同學(xué)取得部分研究成果如下:

          同學(xué)甲發(fā)現(xiàn):函數(shù)的零點為;

          同學(xué)乙發(fā)現(xiàn):函數(shù)是奇函數(shù);

          同學(xué)丙發(fā)現(xiàn):對于任意的都有;

          ④同學(xué)丁發(fā)現(xiàn):對于任意的,都有;

          ⑤同學(xué)戊發(fā)現(xiàn):對于函數(shù)定義域中任意的兩個不同實數(shù),,總滿足;

          ⑥同學(xué)己發(fā)現(xiàn):求使x的取值范圍是

          其中正確結(jié)論的序號為________

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】某森林出現(xiàn)火災(zāi),火勢正以每分鐘的速度順風(fēng)蔓延,消防站接到警報立即派消防隊員前去,在火災(zāi)發(fā)生后分鐘到達救火現(xiàn)場,已知消防隊員在現(xiàn)場平均每人每分鐘滅火,所消耗的滅火材料、勞務(wù)津貼等費用為每人每分鐘125元,另附加每次救火所損耗的車輛、器械和裝備等費用平均每人100元,而燒毀一平方米森林損失費為60元.

          (1)設(shè)派名消防隊員前去救火,用分鐘將火撲滅,試建立的函數(shù)關(guān)系式;

          (2)問應(yīng)該派多少名消防隊員前去救火,才能使總損失最少?

          (總損失=滅火材料、勞務(wù)津貼等費用+車輛、器械和裝備費用+森林損失費)

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          同步練習(xí)冊答案