Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，，是正三角形，，是的中點(diǎn).

（1）證明：；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)證明；（2）

【解析】

（1）設(shè)是的中點(diǎn)，連接、，先證明是平行四邊形，再證明平面，即

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸的正方向，建空間直角坐標(biāo)系，分別計(jì)算各個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算平面法向量，利用向量的夾角公式得到直線與平面所成角的正弦值.

（1）證明：設(shè)是的中點(diǎn)，連接、，

是的中點(diǎn)，，，

，，， ，

是平行四邊形，，

，，，

，，，

由余弦定理得，

，，

，平面，，

；

（2）由（1）得平面，，平面平面，

過(guò)點(diǎn)作，垂足為，平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸的正方向，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，

，

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，，

令，則，，

，

直線與平面所成角的正弦值為.