Question

【題目】在邊長(zhǎng)為4的正方形中，點(diǎn)E、F分別為邊的中點(diǎn)，以和為折痕把和折起，使點(diǎn)B、D重合于點(diǎn)P位置，連結(jié)，得到如圖所示的四棱錐.

（1）在線段上是否存在一點(diǎn)G，使與平面平行，若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

（2）求點(diǎn)A到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）存在；（2）

【解析】

（1）連結(jié)，記與的交點(diǎn)為O，連結(jié).可通過(guò)計(jì)算判斷，結(jié)合相似三角形知識(shí)可知，，由此可證；

（2）證法不唯一，可直接采用等體積法，可先求證平面平面，求出P到直線的距離h，設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為，

則，通過(guò)計(jì)算可求解；另外兩種證法相類(lèi)似，詳解見(jiàn)解析；

（1）線段上的點(diǎn)G滿足時(shí)，與平面平行.

證明如下：

連結(jié)，記與的交點(diǎn)為O，連結(jié).

在正方形中，

∵E、F分別為邊的中點(diǎn)，

∴，

故，

∴

∵平面，平面，

∴平面.

（2）解法一：在正方形中，，

翻折后，

又∵，∴平面

記與的交點(diǎn)為O，連結(jié)，

可知為直角三角形，，

設(shè)P到直線的距離為h，∵，∴

∵，

∴平面

∵平面，

∴平面平面

∵平面平面

∴斜邊上的高h即為三棱錐的高

∴，

，設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為，

∴，

∴，解得.

解法二：在正方形中，，

翻折后，

又∵，∴平面，

記與的交點(diǎn)為O，連結(jié)，

可知為直角三角形，，

易得P到直線的距離為，

∴，

∵，

∴平面，

∴，

又，設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為h，

∴，

∴，解得

解法三：在正方形中，，

翻折后，

又∵，∴平面.

記與的交點(diǎn)為O，連結(jié)，

可知為直角三角形，，

易得.

∵，

∴平面，

∴，

∴，

又，設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為h，

∴，

∴，解得