Question

【題目】已知雙曲線方程為.

（1）已知直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在圓上，求的值；

（2）設(shè)直線是圓上動(dòng)點(diǎn)處的切線，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，證明的大小為定值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）證明見解析

【解析】

（1）將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合題意進(jìn)行求解即可；

（2）先求出直線的方程，與雙曲線聯(lián)立，利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合平面向量夾角公式進(jìn)行證明即可.

（1）設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，線段的中點(diǎn)為，由得，，

.

點(diǎn)在圓上，

（2）點(diǎn)在圓上，所以有，

因?yàn)?/span>，所以設(shè)過與該圓相切的直線的斜率為，

因此有 ，所以切線方程為：，

化簡(jiǎn)，得.由及，得.∵切線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，且，且.設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則.，且的大小為90°.