【題目】如圖，
是邊長為
的正方形，
是
的中點(diǎn)，點(diǎn)
沿著路徑
在正方形邊上運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過的路程為
，
的面積為
.
（1）求
的解析式及定義域；
（2）求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)位置.
【答案】（1）
，函數(shù)
的定義域?yàn)?/span>
；
（2）
面積的最大值為
，此時(shí)點(diǎn)
與點(diǎn)
重合.
【解析】
（1）分點(diǎn)在線段
（不包括點(diǎn)
、）、
（不包括點(diǎn)
）、
（不包括點(diǎn)
），即對(duì)
分
、
、
三種情況討論，計(jì)算出關(guān)于的表達(dá)式，即可得出函數(shù)的解析式，并求出該函數(shù)的定義域；
（2）分段求出函數(shù)的每支函數(shù)的最大值，比較大小后得出函數(shù)的最大值，并求出對(duì)應(yīng)的的值，即可得出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置.
（1）①當(dāng)點(diǎn)在線段（不包括點(diǎn)）時(shí)，，則
，
的高為
，
此時(shí)，
；
②當(dāng)點(diǎn)在線段（不包括點(diǎn)）時(shí)，
，
，
的面積為
，
的面積為
，
直角梯形
的面積為
，
此時(shí)，的面積
；
③當(dāng)點(diǎn)在線段（不包括點(diǎn)）時(shí)，
，的高為，
此時(shí)，
.
綜上所述，，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>；
（2）當(dāng)時(shí)，
，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，則
；
當(dāng)時(shí)，
，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，則
；
當(dāng)時(shí)，
，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，則
.
綜上所述，當(dāng)
時(shí)，函數(shù)取得最大值，即
.
因此，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的面積取到最大值.
期末100分闖關(guān)海淀考王系列答案
小學(xué)能力測試卷系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
（
，且
）.
（Ⅰ）求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)
在
上的最大值.
【答案】（Ⅰ）
的單調(diào)增區(qū)間為
，單調(diào)減區(qū)間為
.（Ⅱ）當(dāng)
時(shí)， 
；當(dāng)
時(shí)， 
.
【解析】【試題分析】(I)利用
的二階導(dǎo)數(shù)來研究求得函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間.(II) 由（Ⅰ）得
在
上單調(diào)遞減，在
上單調(diào)遞增，由此可知
.利用導(dǎo)數(shù)和對(duì)
分類討論求得函數(shù)在
不同取值時(shí)的最大值.
【試題解析】
（Ⅰ）
，
設(shè)
，則
.
∵
， 
，∴
在
上單調(diào)遞增，
從而得
在
上單調(diào)遞增，又∵
，
∴當(dāng)
時(shí)， 
，當(dāng)
時(shí)， 
，
因此， 
的單調(diào)增區(qū)間為
，單調(diào)減區(qū)間為
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
在
上單調(diào)遞減，在
上單調(diào)遞增，
由此可知
.
∵
， 
，
∴
.
設(shè)
，
則
.
∵當(dāng)
時(shí)， 
，∴
在
上單調(diào)遞增.
又∵
，∴當(dāng)
時(shí)， 
；當(dāng)
時(shí)， 
.
①當(dāng)
時(shí)， 
，即
，這時(shí)， 
；
②當(dāng)
時(shí)， 
，即
，這時(shí)， 
.
綜上， 
在
上的最大值為：當(dāng)
時(shí)， 
；
當(dāng)
時(shí)， 
.
[點(diǎn)睛]本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性,考查利用導(dǎo)數(shù)求最大值. 與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問題，往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，并結(jié)合特殊點(diǎn)，從而判斷函數(shù)的大致圖像，討論其圖象與
軸的位置關(guān)系，進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍；或通過對(duì)方程等價(jià)變形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題．
【題型】解答題
【結(jié)束】
22
【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系
中，圓
的普通方程為
. 在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，
軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線
的極坐標(biāo)方程為
.
（Ⅰ） 寫出圓 的參數(shù)方程和直線的直角坐標(biāo)方程；
（ Ⅱ ） 設(shè)直線 與軸和
軸的交點(diǎn)分別為
，
為圓上的任意一點(diǎn)，求
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某人在微信群中發(fā)了一個(gè)8元“拼手氣”紅包，被甲、乙、丙三人搶完，若三人均領(lǐng)到整數(shù)元，且每人至少領(lǐng)到1元，則甲領(lǐng)到的錢數(shù)不少于其他任何人的概率為
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)有一組圓
.下列四個(gè)命題正確的是（ ）
A. 存在
，使圓與
軸相切
B. 存在一條直線與所有的圓均相交
C. 存在一條直線與所有的圓均不相交
D. 所有的圓均不經(jīng)過原點(diǎn)
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元,每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需增加投入100元,已知總收益滿足函數(shù)： 
,其中
是儀器的月產(chǎn)量．(注：總收益=總成本+利潤)
(1)將利潤
表示為月產(chǎn)量的函數(shù)；
(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí),公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】 依法納稅是每個(gè)公民應(yīng)盡的義務(wù)，個(gè)人取得的所得應(yīng)依照《中華人民共和國個(gè)人所得稅法》向國家繳納個(gè)人所得稅（簡稱個(gè)稅）．
年
月日起，個(gè)稅稅額根據(jù)應(yīng)納稅所得額、稅率和速算扣除數(shù)確定，計(jì)算公式為：個(gè)稅稅額＝應(yīng)納稅所得額×稅率－速算扣除數(shù)．①應(yīng)納稅所得額的計(jì)算公式為：應(yīng)納稅所得額＝綜合所得收入額－基本減除費(fèi)用－專項(xiàng)扣除－專項(xiàng)附加扣除－依法確定的其他扣除．②其中，“基本減除費(fèi)用”（免征額）為每年
元．稅率與速算扣除數(shù)見下表．
（１）設(shè)全年應(yīng)納稅所得額為
，應(yīng)繳納個(gè)稅稅額為
，求
的解析式；
（２）小李全年綜合所得收入額為
元，假定繳納的基本養(yǎng)老保險(xiǎn)、基本醫(yī)療保險(xiǎn)、失業(yè)保險(xiǎn)等社會(huì)保險(xiǎn)費(fèi)和住房公積金占綜合所得收入額的比例分別是
，
，
，
，專項(xiàng)附加扣除是
元，依法確定其他扣除是
元，那么他全年應(yīng)繳納多少綜合所得個(gè)稅？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標(biāo)系
中，定長為3的線段
兩端點(diǎn)
、
分別在
軸，
軸上滑動(dòng)，
在線段上，且
.
（1）求點(diǎn)的軌跡
的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)
是軌跡上一點(diǎn)，從原點(diǎn)
向圓
作兩條切線分別與軌跡交于點(diǎn)
，
，直線
，
的斜率分別記為
，
.
①求證：
；
②求
的最大值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品所得的利潤分別為
和
（萬元），事先根據(jù)相關(guān)資料得出它們與投入資金
（萬元）的數(shù)據(jù)分別如下表和圖所示：其中已知甲的利潤模型為
，乙的利潤模型為
．（
為參數(shù)，且
）.
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（1）請根據(jù)下表與圖中數(shù)據(jù)，分別求出甲、乙兩種產(chǎn)品所得的利潤與投入資金（萬元）的函數(shù)模型
（2）今將
萬資金投入生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，并要求對(duì)甲、乙兩種產(chǎn)品的投入資金都不低于
萬元．設(shè)對(duì)乙種產(chǎn)品投入資金
（萬元），并設(shè)總利潤為
（萬元），如何分配投入資金，才能使總利潤最大？并求出最大總利潤．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
的定義域?yàn)?/span>
，若存在區(qū)間
，使得
稱區(qū)間為函數(shù)的“和諧區(qū)間”.
（1）請直接寫出函數(shù)
的所有的“和諧區(qū)間”；
（2）若
為函數(shù)
的一個(gè)“和諧區(qū)間”，求
的值；
（3）求函數(shù)
的所有的“和諧區(qū)間”.
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