【題目】已知函數(shù)(
且
)是定義在
上的奇函數(shù).
(Ⅰ)求實數(shù)的值;
(Ⅱ)判斷并用定義證明的單調性;
(Ⅲ)若,且
成立,求實數(shù)
的取值范圍.
【答案】(Ⅰ);
(Ⅱ)當時,
在
上單調遞增;當
時,
在
上單調遞減;證明見解析;
(Ⅲ).
【解析】
(Ⅰ)由題意,由奇函數(shù)的特征得
,利用對數(shù)的運算性質求實數(shù)
的值;
(Ⅱ)設,且
,利用作差法用定義證明
的單調性;
(Ⅲ)由可得
的范圍,得函數(shù)
的單調性,由
利用奇偶性得
,再根據(jù)單調性求實數(shù)
的取值范圍.
解:(Ⅰ)由題意,
∵函數(shù)是定義在
上的奇函數(shù),
∴,即
,
∴,即
,
∴,又
,∴
;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
設,且
,
則,
∵,∴
,
∴,
,∴
,
∴當時,
,即
,
在
上單調遞增;
當時,
,即
,
在
上單調遞減;
綜上:當時,
在
上單調遞增;
當時,
在
上單調遞減;
(Ⅲ)由得
,
∴,由(Ⅱ)知,
在
上單調遞減,
由利用奇偶性得
,
∴,解得
,
綜上:實數(shù)的取值范圍是
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】根據(jù)指令,機器人在平面上能完成下列動作:如圖,先從原點O沿正東偏北方向行走一段時間后,再向正北方向行走一段時間,但何時改變方向不定.假定機器人行走速度為10m/min,則機器人行走2min時的可能落點區(qū)域的面積是__________.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當時,求函數(shù)
在點
處的切線方程;
(2)若函數(shù)有兩個不同極值點,求實數(shù)
的取值范圍;
(3)當時,求證:對任意
,
恒成立.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】有10名乒乓球選手進行單循環(huán)賽.比賽結果顯示,沒有和局,且任意5人中既有1人勝其余4人,又有1人負其余4人.則恰好勝了兩場的選手有______名.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某城市理論預測2020年到2024年人口總數(shù)與年份的關系如下表所示:
年份202x(年) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
人口數(shù)y(十萬) | 5 | 7 | 8 | 11 | 19 |
(1)請在右面的坐標系中畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖;
(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程;
(3)據(jù)此估計2025年該城市人口總數(shù).
(參考公式:,
)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系中,直線
與拋物線
交于
,
兩點,且
.
(1)求的方程;
(2)試問:在軸的正半軸上是否存在一點
,使得
的外心在
上?若存在,求
的坐標;若不存在,請說明理由..
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】社會上有人認為在機動車駕駛技術上,男性優(yōu)于女性,這是真的么?某社會調查機構與交警合作隨機統(tǒng)計了經常開車的100名駕駛員最近三個月內是否有交通事故或交通違法事件發(fā)生,得到下面的列聯(lián)表:
男 | 女 | 總計 | |
無 | 40 | 35 | 75 |
有 | 15 | 10 | 25 |
總計 | 55 | 45 | 100 |
附:
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 |
據(jù)此表,可得( ).
A.認為機動車駕駛技術與性別有關的可靠性不足
B.認為機動車駕駛技術與性別有關的可靠性超過
C.認為機動車駕駛技術與性別有關的可靠性超過
D.認為機動車駕駛技術與性別有關的可靠性超過
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+ax2 -4 x+5,若x=時,y=f(x)有極值.
(1)求a的值;
(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值.
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