Question

【題目】設(shè)拋物線的焦點為，經(jīng)過軸正半軸上點的直線交于不同的兩點和.

（1）若，求點的坐標(biāo)；

（2）若，求證：原點總在以線段為直徑的圓的內(nèi)部；

（3）若，且直線∥，與有且只有一個公共點，問：△的面積是否存在最小值？若存在，求出最小值，并求出點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）存在，最小值2，.

【解析】

（1）由拋物線方程以及拋物線定義，根據(jù)求出橫坐標(biāo)，代入，即可得出點的坐標(biāo)；

（2）設(shè)，，設(shè)直線的方程是：，聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)韋達(dá)定理，以及向量數(shù)量積運(yùn)算，得到，推出恒為鈍角，即可得結(jié)論成立；

（3）設(shè)，則，由得，推出直線的斜率．設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程，根據(jù)判別式等于零，得．設(shè)，則，，由三角形面積公式，以及基本不等式，即可求出結(jié)果.

（1）由拋物線方程知，焦點是，準(zhǔn)線方程為，

設(shè)，由及拋物線定義知，，代入得，

所以點的坐標(biāo)或

（2）設(shè)，，

設(shè)直線的方程是：，

聯(lián)立，消去得：，由韋達(dá)定理得，

所以，

故恒為鈍角，

故原點總在以線段AB為直徑的圓的內(nèi)部．

（3）設(shè)，則，

因為，則，由得，故．

故直線的斜率．

因為直線和直線平行，設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程

得，由題意，得．

設(shè)，則，，

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，

由得，解得或（舍），

所以點的坐標(biāo)為，.