Question

【題目】已知點(diǎn)是圓：上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且滿足.

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）設(shè)曲線與軸的正半軸，軸的正半軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)，，斜率為的動(dòng)直線交曲線于、兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由向量的數(shù)量積的運(yùn)算，可得，化簡(jiǎn)得，利用橢圓的定義，即可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．

（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式，求得

和，在利用點(diǎn)到直線的距離公式，求得點(diǎn)到直線的距離 和點(diǎn)到直線的距離為，得出四邊形面積，即可求解．

（1）由題意， ，

∴.

∴ ，

∴點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)，為焦點(diǎn)且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓，

即，，∴，，∴.

即點(diǎn)的軌跡的方程為.

（2）由（1）可得，.

設(shè)直線的方程為，由點(diǎn)在第一象限，得，，，

由，得，

則，， ，

點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，

∴四邊形面積 ，

又，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值.

即四邊形面積的最大值為.