Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn).

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）點(diǎn)P是橢圓上異于短軸端點(diǎn)A，B的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸于Q，線段PQ的中點(diǎn)為M.直線AM與直線交于點(diǎn)N，D為線段BN的中點(diǎn)，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷以OD為直徑的圓與點(diǎn)M的位置關(guān)系.

Answer 1

【答案】（1）（2）點(diǎn)在以為直徑的圓上

【解析】

（1）根據(jù)題意列出關(guān)于，，的方程組，解出，，的值，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)，，則，，求出直線的方程，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到點(diǎn)的坐標(biāo)，下面結(jié)合點(diǎn)在橢圓上證出，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上．

（1）由題意可知，，解得，

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.

（2）設(shè)點(diǎn)，，則，，

直線的斜率為，

直線的方程為：，

令得，，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，，

，，

又點(diǎn)，在橢圓上，

，，

，

點(diǎn)在以為直徑的圓上．