Question

【題目】若集合的子集A中的每個(gè)元素均可表為兩個(gè)自然數(shù)（允許相同）的平方和，求集合A中元素個(gè)數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】79

【解析】

注意到，不超過(guò)200的平方數(shù)為.

首先，中的每個(gè)數(shù)可表為的形式，這種數(shù)共有14個(gè)；

而中的每一對(duì)數(shù)（允許相同）的和在集合M中，這種數(shù)有個(gè)，

其中，形式的數(shù)10個(gè)， 形式的數(shù)個(gè).

其次，形式的數(shù)8個(gè)，

形式的數(shù)7個(gè)，

形式的數(shù)5個(gè)，

形式的數(shù)2個(gè)，

共計(jì)22個(gè).

再考慮重復(fù)的情形：注意到，若，

則.

不超過(guò)40且能表示為兩個(gè)不同正整數(shù)的平方和的數(shù)有5、10、13、17、20、25、26、29、34、37、40，

該組中的每個(gè)數(shù)與5的積，以及均在集合M中，且均可用兩種方式表示為平方和，

故各被計(jì)算了兩次，累計(jì)有12次重復(fù)（10、13、17、20與10的積已包含在以上乘積組中）.

因此，集合A中元素個(gè)數(shù)的最大值為.