Question

【題目】對(duì)于元集合，若元集合滿足，且．則稱(chēng)是集合的一種“等和劃分”（與算是同一種劃分）．試確定集合共有多少種等和劃分?

Answer 1

【答案】29

【解析】

解法1：不妨設(shè)．由于當(dāng)集合確定后，集合便唯一確定，故只須考慮集合的個(gè)數(shù)．

設(shè)為最大數(shù)．由，知．于是，．故中有奇數(shù)個(gè)奇數(shù)．

（1）若中有五個(gè)奇數(shù)，因中的六個(gè)奇數(shù)之和為36，而，所以，．此時(shí)，得到唯一的．

（2）若中有三個(gè)奇數(shù)、兩個(gè)偶數(shù)，用表示中這兩個(gè)偶數(shù)之和，表示中這三個(gè)奇數(shù)之和，則．于是，．共得的24種情形．

①當(dāng)時(shí)，，可搭配成的3種情形；

②當(dāng)時(shí)，，可搭配成的3種情形；

③當(dāng)時(shí)，，可搭配成的6種情形；

④當(dāng)時(shí)，，可搭配成的6種情形；

⑤當(dāng)時(shí)，，可搭配成的4種情形；

⑥當(dāng)時(shí)，，可搭配成的1種情形；

⑦當(dāng)時(shí)，，可搭配成的1種情形；

（3）若中有一個(gè)奇數(shù)、四個(gè)偶數(shù)，由于中除12外，其余的五個(gè)偶數(shù)和為，從中去掉一個(gè)偶數(shù)，補(bǔ)加一個(gè)奇數(shù)，使中五數(shù)之和為27，分別得到的4種情形．綜上，集合有種情形．即有29種等和劃分．

解法2：元素交換法．

顯然，，恒設(shè)．

（1）首先注意極端情況的一種分劃：

．

顯然，數(shù)組與中，若有一組數(shù)全在中，則另一組數(shù)必全在中．

以下考慮10、11兩個(gè)數(shù)至少一個(gè)不在中的情況．

為此，考慮中個(gè)數(shù)相同且和數(shù)相等的元素交換．

（2）；

；

；

．

共得到8種對(duì)換．

（3）；

；

；

；

．

共得到9種對(duì)換．

（4）；

；

；

；

．

共得到11種對(duì)換．

每種對(duì)換都得到一種新的劃分．因此，總共得種等和劃分．