Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若在區(qū)間上恒成立，求a的取值范圍.

（2）對任意，總存在唯一的，使得成立，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）討論與的大小去掉絕對值，然后分類討論討論導(dǎo)數(shù)符號研究函數(shù)在，的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最小值，使的最小值恒大于等于，求出的取值范圍；

（2）根據(jù)（1）的分類討論求出函數(shù)的最小值，使的最小值恒小于等于的最小值，從而求出的取值范圍．

（1）①當(dāng)時，，，，恒成立，

在，上增函數(shù)，故當(dāng)時，（e）

②當(dāng)時，，，

當(dāng)即時，在時為正數(shù)，所以在區(qū)間，上為增函數(shù)，

故當(dāng)時，，且此時

當(dāng)，即時，在時為負(fù)數(shù)，在間，時為正數(shù)，

所以在區(qū)間，上為減函數(shù)，在，上為增函數(shù)，故當(dāng)時，，

且此時（e）

當(dāng)，即時，在時為負(fù)數(shù)，所以在區(qū)間，上為減函數(shù)，

故當(dāng)時，（e）

綜上所述，函數(shù)的最小值為

所以當(dāng)時，得；當(dāng)時，無解；

當(dāng)時，得不成立．

綜上，所求的取值范圍是

（2）①當(dāng)時，在，單調(diào)遞增，需滿足，

解得

②當(dāng)時，在，先減后增，需滿足，即

因為單調(diào)遞減，所以

因此

③當(dāng)時，在遞增，在遞減，在，遞增，

所以需滿足，即，

設(shè)，

則，，所以遞增，且，

所以恒成立，即不成立，舍去．

④當(dāng)時，在遞增，在遞減，在，遞增，

所以需滿足即，

因為，所以不成立，舍去．

綜上，所求的取值范圍是