Question

【題目】已知函數(shù)f (x)＝xlnx－x．

（1）設(shè)g(x)＝f (x)＋|x－a|，a∈R．e為自然對數(shù)的底數(shù)．

①當時，判斷函數(shù)g(x)零點的個數(shù)；

②時，求函數(shù)g(x)的最小值．

（2）設(shè)0＜m＜n＜1，求證：

Answer 1

【答案】（1）① g(x)有且僅有兩個零點．②a－e．（2）證明見解析

【解析】

（1）將代入g(x)＝f (x)＋|x－a|，化簡得g(x)＝xlnx＋，再根據(jù)導數(shù)正負判斷在極值點處函數(shù)值的正負，結(jié)合極值點兩側(cè)值加以論證即可，可取驗證求解

（2）由于參數(shù)的不確定性，需根據(jù)將參數(shù)分成a≤，a≥e，＜a＜e三段進行討論，進一步判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

（3）可先構(gòu)造函數(shù)h(x)＝，求得h′(x)＝＞0，于是h(x)在(0，1)單調(diào)遞增，因0＜m＜n＜1，所以h(m)＜h(n)，從而有，再設(shè)φ(x)＝，x＞0 ，通過導數(shù)來驗證φ(x)增減性，進一步通過增減性求得最值，即可求證不等式成立

解：（1）①當時， g(x)＝xlnx－x＋|x＋|＝xlnx＋，

g′(x)＝1＋lnx，

當0＜x＜時，g′(x)＜0；當x＞時，g′(x)＞0；

因此g(x)在(0，)上單調(diào)遞減，在(，＋∞)上單調(diào)遞增，

又，g()＝－＋＜0，g(1)＝＞0，

所以g(x)有且僅有兩個零點．

②（i）當a≤時，g (x)＝xlnx－x＋x－a＝xlnx－a，

因為x∈[，e]，g′(x)＝1＋lnx≥0恒成立，

所以g(x)在[，e]上單調(diào)遞增，所以此時g(x)的最小值為g()＝－－a．

（ii）當a≥e時，g(x)＝xlnx－x＋a－x＝xlnx－2x＋a，

因為x∈[，e]，g′(x)＝lnx－1≤0恒成立，

所以g(x)在[，e]上單調(diào)遞減，所以此時g(x)的最小值為g(e)＝a－e．

（iii）當＜a＜e時，

若≤x≤a，則g(x)＝xlnx－x＋a－x＝xlnx－2x＋a，

若a≤x≤e，則g(x)＝xlnx－x＋x－a＝xlnx－a，

由（i），（ii）知g(x)在[，a]上單調(diào)遞減，在[a，e]上單調(diào)遞增，

所以此時g(x)的最小值為g(a)＝alna－a，

綜上有：當a≤時，g(x)的最小值為－－a；

當＜a＜e時，g(x)的最小值為alna－a；

當a≥e時，g(x)的最小值為a－e．

（2）設(shè)h(x)＝，

則當x∈(0，1)時，h′(x)＝＞0，于是h(x)在(0，1)單調(diào)遞增，

又0＜m＜n＜1，所以h(m)＜h(n)，

從而有

設(shè)φ(x)＝，x＞0

則φ′(x)＝

因此φ(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，

因為0＜n＜1，所以φ(n)＜φ(1)＝0，即lnn－1＋＜0，

因此

即原不等式得證．