Question

已知分別是x軸，y軸方向上的單位向量，，在射線y=x（x≥0）上從下到上依次有點Bi=（i=1，2，3，…），（n=2，3，4…）．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求；
（III）求四邊形A_nA_n+1B_n+1B_n面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意|A_n-1A_n|=3|A_nA_n+1|是一個等比關系，故根據(jù)等比數(shù)列公式求其通項，從而求得結果；
（2）由題意（1）中數(shù)列的前n項和即為A_n的縱坐標，再由在射線y=x（x≥0）上依次有點B₁，B₂，…，B_n，…即可得出B_n的坐標；
（3）根據(jù)四邊形A_nA_n+1B_n+1B_n的幾何特征，把四邊形的面積分成兩個三角形的面積來求，求出面積的表達式，再作差S_n-S_n-1，確定其單調(diào)性，然后求出最大值．
解答：解：（Ⅰ）∵，
∴
（II）由（1）知，

=
∵|均在射線y=x（x≥0）上，
∴=．∴
（III）∵|=2n+3．
又|．
∴S_n=，（10分）
而S_n-S_n-1=＜0，
∴S₁＞S₂＞…＞S_n＞…
∴S_max=S₁=（12分）
點評：本題是一個數(shù)列應用題，也是等差等比數(shù)列的一個綜合題，本題有著一個幾何背景，需要做正確的轉(zhuǎn)化和歸納，才能探究出正確的解決方法．本題是個難題，比較抽象．