Question

【題目】如圖，在三棱錐P—ABC中，△PBC為等邊三角形，點O為BC的中點，AC⊥PB，平面PBC⊥平面ABC．

（1）求直線PB和平面ABC所成的角的大�。�

（2）求證：平面PAC⊥平面PBC；

（3）已知E為PO的中點，F(xiàn)是AB上的點，AF＝AB．若EF∥平面PAC，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）先找到直線PB與平面ABC所成的角為,再求其大小；（2）先證明,

再證明平面PAC⊥平面PBC；（3）取CO的中點G,連接EG,過點G作FG||AC,再求出的值.

（1）因為平面PBC⊥平面ABC，PO⊥BC, 平面PBC∩平面ABC=BC,,

所以PO⊥平面ABC,

所以直線PB與平面ABC所成的角為,

因為，

所以直線PB與平面ABC所成的角為.

(2)因為PO⊥平面ABC,

所以,

因為AC⊥PB，,

所以AC⊥平面PBC,

因為平面PAC,

所以平面PAC⊥平面PBC.

(3)

取CO的中點G,連接EG,過點G作FG||AC,

由題得EG||PC,所以EG||平面APC,

因為FG||AC，所以FG||平面PAC,

EG,FG平面EFO,EG∩FG=G,

所以平面EFO||平面PAC,

因為EF平面EFO,

所以EF||平面PAC.

此時AF=.