Question

在△ABC中，若AB⊥AC，AD⊥BC于D，則

1

AD2

=

1

AB2

+

1

AC2

．在四面體A-BCD中，若AB，AC，AD兩兩垂直，AH⊥底面BCD，垂足為H，則類(lèi)似的結(jié)論是什么？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：利用平面中的射影定理證明；將平面中的三角形類(lèi)比成空間的三棱錐，三角形的兩邊垂直類(lèi)比成三棱錐的三棱垂直，得到類(lèi)比性質(zhì)通過(guò)作輔助線將空間的證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形中的性質(zhì)．

解答：解：類(lèi)似的結(jié)論是：如圖，在四面體A-BCD中，若AB，AC，AD兩兩垂直，AH⊥底面BCD，垂足為H，則

1

AH2

=

1

AB2

+

1

AC2

+

1

AD2

．                    …（4分）
證明如下：
連接BH并延長(zhǎng)交CD于E，連接AE．∵AB，AC，AD兩兩垂直，
∴AB⊥平面ACD．又∵AE?平面ACD，∴AB⊥AE．
在Rt△ABE中，有

1

AH2

=

1

AB2

+

1

AE2

．     ①…（8分）
又易證CD⊥AE，
∴在Rt△ACD中，

1

AE2

=

1

AC2

+

1

AD2

． ②…（10分）
將②代入①得 

1

AH2

=

1

AB2

+

1

AC2

+

1

AD2

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用類(lèi)比推理得到結(jié)論、證明類(lèi)比結(jié)論時(shí)證明過(guò)程與其類(lèi)比對(duì)象的證明過(guò)程類(lèi)似或直接轉(zhuǎn)化為類(lèi)比對(duì)象的結(jié)論．