Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，∥，，是等邊三角形，側(cè)面底面，，，，點(diǎn)是棱上靠近點(diǎn)的一個三等分點(diǎn)．

（1）求證：∥平面；

（2）設(shè)點(diǎn)是線段（含端點(diǎn)）上的動點(diǎn)，若直線與底面所成的角的正弦值為，求線段的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）取棱上靠近點(diǎn)的一個三等分點(diǎn)，連接，，易證四邊形是平行四邊形，所以∥，再利用線面平行的判定定理即可證明；

（2）作，垂足為點(diǎn)，由面面垂直的性質(zhì)定理可得底面，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，過點(diǎn)且平行于的射線為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由得到的坐標(biāo)，設(shè)，則的坐標(biāo)為，進(jìn)一步得到，又為平面的一個法向量，再利用線面角的計算公式即可得到，即的長.

（1）取棱上靠近點(diǎn)的一個三等分點(diǎn)，連接，．

因為，所以∥且．

因為∥，所以∥．

又因為，，所以．

所以四邊形是平行四邊形．

所以∥．

又因為平面，平面，

所以∥平面．

（2）作，垂足為點(diǎn)，如圖所示．

因為是等邊三角形，所以點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．

因為側(cè)面底面，側(cè)面底面，，側(cè)面，

所以底面．

所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，過點(diǎn)且平行于的射線為軸，為軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

因為，，，是等邊三角形，

所以，．

所以點(diǎn)，．

因為點(diǎn)是棱上靠近點(diǎn)的一個三等分點(diǎn)，所以，

所以，所以，

故點(diǎn)的坐標(biāo)是．

設(shè)，則的坐標(biāo)是．所以．

而易知平面一個法向量為；

設(shè)與底面所成的角為．

因為直線與底面所成的角的正弦值為，所以．

因為，

所以

，

解得．

所以線段的長為．