Question

【題目】如圖，在中，分別為的中點(diǎn)，為的一個(gè)三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)）．將沿折起，記折起后點(diǎn)為，連接為上的一點(diǎn)，且，連接．

（1）求證：平面；

（2）若，直線與平面所成的角為，當(dāng)最大時(shí)，求，并計(jì)算．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），

【解析】

（1）先根據(jù)平行線分線段成比例證得，再根據(jù)線面平行的判定定理證平面；

（2）根據(jù)線面位置關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行求解即可．

（1）在中，因?yàn)?/span>為的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），為的中點(diǎn)，

所以．

又分別為的中點(diǎn)，所以，

所以，所以，

所以，所以．

又平面平面，所以平面．

（2）易知，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，則，，

連接，由，可得，

則．

設(shè)為平面的法向量，

則，即，所以，

令，則，所以是平面的一個(gè)法向量．

所以，

所以當(dāng)時(shí)，取最大值，也取最大值，此時(shí)，則，故．

所以當(dāng)最大時(shí)，，.