Question

已知、分別是橢圓C:的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn),O是坐標(biāo)系原點(diǎn), 且橢圓C的焦距為6, 過(guò)的弦兩端點(diǎn)與所成⊿的周長(zhǎng)是.
（Ⅰ）.求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（Ⅱ）已知點(diǎn)，是橢圓C上不同的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.
求直線的方程；
（Ⅲ）若線段的垂直平分線與橢圓C交于點(diǎn)、，試問(wèn)四點(diǎn)、、、是否在同一個(gè)圓上，若是，求出該圓的方程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（Ⅰ） 解:設(shè)橢圓C:的焦距為2c,
∵橢圓C:的焦距為2,  ∴2c=6,即c=3…………1分
又∵、分別是橢圓C:的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn),且過(guò)的弦AB兩端點(diǎn)A、B與所成⊿AB的周長(zhǎng)是.
∴⊿AB的周長(zhǎng) = AB+(AF₂+BF₂)= (AF₁+BF₁)+ (AF₂+BF₂)=4=
∴                                           …………2分
又∵, ∴∴橢圓C的方程是…………4分
（Ⅱ）解一：點(diǎn)，是橢圓C上不同的兩點(diǎn)，
∴，.以上兩式相減得：，                             
即，，
∵線段的中點(diǎn)為，∴.                                                           
∴，
當(dāng)，由上式知， 則重合，與已知矛盾，因此，
∴. ∴直線的方程為，即.                    
由 消去，得，解得或.
∴所求直線的方程為.    ………………8分
解二: 當(dāng)直線的不存在時(shí), 的中點(diǎn)在軸上, 不符合題意.
故可設(shè)直線的方程為, .           
由 消去，得   (*)
.              的中點(diǎn)為,
..解得.                                                           
此時(shí)方程(*)為,其判別式.∴直線的方程為.                                     
（Ⅲ）由于直線的方程為，
則線段的垂直平分線的方程為，即.        
由 得，                               
由消去得，設(shè)
則.
∴線段的中點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo).
∴.                                             
∴.
∵，
，                    
∴四點(diǎn)、、、在同一個(gè)圓上，此圓的圓心為點(diǎn)G，半徑為，
其方程為.         …………14分   

略