Question

已知直三棱柱中，△為等腰直角三角形，∠＝90°，且＝，、、分別為、、的中點(diǎn)．

（1）求證：∥平面；
（2）求證：⊥平面；
（3）求二面角的余弦值

Answer 1

解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz，令A(yù)B＝AA₁＝4，

則A（0，0，0），E（0，4，2），F(xiàn)（2，2，0），B（4，0，0），
B₁（4，0，4），D（2，0，2），       …………（2分）
（1）（，4，0），面ABC的法向量為（0，0，4），
∵，平面ABC，
∴DE∥平面ABC．                  …………（4分）
（2）

 …………（6分）
∴
∵    …………（8分）
（3） 平面AEF的法向量為，設(shè)平面 B₁AE的法向量為
   即    …………（10分）
令x＝2，則
∴
∴二面角B₁—AE—F的余弦值為

略