Question

如圖,已知四棱錐的底面是正方形,側(cè)棱底面,,是的中點(diǎn)．
(1)證明平面；
(2)求二面角的余弦值．

Answer 1

解法一：(1)連結(jié)，設(shè)與交于點(diǎn)，連結(jié).
∵底面ABCD是正方形，∴為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，
∴， ∵平面，平面，∴平面.
解法二：(1)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則.
∴,設(shè)是平面的一個(gè)法向量,
則由 
∵，∴, ，∴
(2) 由(1)知是平面BDE的一個(gè)法向量，又是平面的一個(gè)法向量.設(shè)二面角的平面角為，由題意可知.
∴.

本試題考查了同學(xué)們空間想象能力，以及對于空間中的線面平行的判定定理和二面角的求解運(yùn)用。即可運(yùn)用幾何方法，也可以運(yùn)用空間向量法來解決。