Question

如圖，是邊長為3的正方形，，，與平面所成的角為.

(1)求二面角的的余弦值;
(2)設(shè)點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，試確定的位置，使得，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）；（2）三等分點(diǎn)

試題分析：（1）根據(jù)平面，確定就是與平面所成的角，從而得到，且，可以建立空間直角坐標(biāo)系，寫出，設(shè)出的一個(gè)法向量為，根據(jù)，解出，而平面的法向量設(shè)為，所以利用向量數(shù)量積公式得出二面角的余弦值為；（2）由題意設(shè)，則，而平面，∴，代入坐標(biāo)，求出，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為，此時(shí)，∴點(diǎn)M是線段BD靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn).
試題解析：
平面，就是與平面所成的角，即，∴.
如圖，分別以為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)的坐標(biāo)如下，∴，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則.
∵平面，∴平面的法向量設(shè)為，∴，故二面角的余弦值為.

（2）由題意，設(shè)，則，∵平面，∴，即解得，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，此時(shí)，∴點(diǎn)M是線段BD靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn).