Question

【題目】已知圓及直線：.

(1)證明：不論取什么實(shí)數(shù)，直線與圓C總相交；

(2)求直線被圓C截得的弦長(zhǎng)的最小值及此時(shí)的直線方程.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) ，.

【解析】

（1）根據(jù)直線過的定點(diǎn)在圓內(nèi)，得出直線與圓總相交．
（2）作圖分析出當(dāng)直線與半徑CM垂直與點(diǎn)M時(shí)|AB|最短，利用勾股定理求出此時(shí)|AB|的長(zhǎng)，再運(yùn)用兩直線垂直時(shí)斜率相乘等于1，求出此時(shí)直線的方程．

解：(1)證明：直線的方程可化為，

由方程組，解得

所以直線過定點(diǎn)M(3，1)，

圓C化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心坐標(biāo)為(1，2)，半徑為5，

因?yàn)槎�點(diǎn)M(3，1)到圓心(1，2)的距離為√，

所以定點(diǎn)M(3，1)在圓內(nèi)，

故不論m取什么實(shí)數(shù)，過定點(diǎn)M(3，1)的直線與圓C總相交；

(2)設(shè)直線與圓交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)直線與半徑CM垂直與點(diǎn)M時(shí)，直線被截得的弦長(zhǎng)|AB|最短，

此時(shí)，

此時(shí)，所以直線AB的方程為，即.

故直線被圓C截得的弦長(zhǎng)的最小值為，此時(shí)的直線的方程為.