Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求函數(shù)在的單調(diào)性；

（2）當(dāng)且時，，求函數(shù)在上的最小值；

（3）當(dāng)時，有兩個零點，，且，求證：.

Answer 1

【答案】（1）在上單調(diào)遞增（2）（3）證明見解析

【解析】

（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號，即可求得函數(shù)的單調(diào)性；

（2）由，求得，分類討論求得函數(shù)的單調(diào)性與極值，進而求得函數(shù)的最小值，得到答案.

（3）由，根據(jù)題意，得到，，

兩式相減，，令，得到函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.

（1）由題意，函數(shù)，則，

又∵，∴，，∴，

∴在上單調(diào)遞增.

（2）由，則，

（1）當(dāng)時，，，

此時圖數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

∴函數(shù)在處取得最小值，即；

（2）當(dāng)時，令，

當(dāng)時，即當(dāng)，，，

此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)在處取得最小值，

即；

綜上所得.

（3）證明：根據(jù)題意，，

∵，是函數(shù)的兩個零點，

∴，.

兩式相減，可得，即，

∴，則，.

令，，則.

記，，則.

又∵，∴恒成立，故，即.

可得，∴.