【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
在
的單調(diào)性;
(2)當(dāng)且
時(shí),
,求函數(shù)
在
上的最小值;
(3)當(dāng)時(shí),
有兩個(gè)零點(diǎn)
,
,且
,求證:
.
【答案】(1)在
上單調(diào)遞增(2)
(3)證明見(jiàn)解析
【解析】
(1)求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù),結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào),即可求得函數(shù)的單調(diào)性;
(2)由,求得
,分類(lèi)討論求得函數(shù)的單調(diào)性與極值,進(jìn)而求得函數(shù)的最小值,得到答案.
(3)由,根據(jù)題意,得到
,
,
兩式相減,,令
,得到函數(shù)
,利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值,即可求解.
(1)由題意,函數(shù),則
,
又∵,∴
,
,∴
,
∴在
上單調(diào)遞增.
(2)由,則
,
(1)當(dāng)時(shí),
,
,
此時(shí)圖數(shù)在區(qū)間
上單調(diào)遞減,
∴函數(shù)在
處取得最小值,即
;
(2)當(dāng)時(shí),令
,
當(dāng)時(shí),即當(dāng)
,
,
,
此時(shí)函數(shù)在區(qū)間
上單調(diào)遞減,函數(shù)
在
處取得最小值,
即;
綜上所得.
(3)證明:根據(jù)題意,,
∵,
是函數(shù)
的兩個(gè)零點(diǎn),
∴,
.
兩式相減,可得,即
,
∴,則
,
.
令,
,則
.
記,
,則
.
又∵,∴
恒成立,故
,即
.
可得,∴
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)加工直徑為10cm的零件,為了檢驗(yàn)零件的質(zhì)量,從零件中各隨機(jī)抽取6件測(cè)量,測(cè)得數(shù)據(jù)如下(單位:mm):
甲:99,100,98,100,100,103;
乙:99,100,102,99,100,100.
(1)分別計(jì)算上述兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差
(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果,說(shuō)明哪一臺(tái)機(jī)床加工的零件更符合要求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若在上存在一點(diǎn)
,使得
成立,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】從含有兩件正品a1,a2和一件次品b1的3件產(chǎn)品中每次任取1件,
每次取出后不放回,連續(xù)取兩次.
(1)求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率;
(2)如果將“每次取出后不放回”這一條件換成“每次取出后放回”,則取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓,記
為與原點(diǎn)距離等于
的全體直線所成的集合.問(wèn):是否存在常數(shù)
,使得對(duì)任意的直線
,均存在
、
,
、
分別過(guò)
與橢圓
的交點(diǎn)
、
,且有
?并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,已知菱形的對(duì)角線
交于點(diǎn)
,點(diǎn)
為線段
的中點(diǎn),
,
,將三角形
沿線段
折起到
的位置,
,如圖2所示.
(Ⅰ)證明:平面
平面
;
(Ⅱ)求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心,以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸的橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,1),N(,-
).
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線,分別與橢圓C相交于異于M點(diǎn)的A,B兩點(diǎn),求直線AB的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】△ABC在內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=bcosC+csinB.
(Ⅰ)求B;
(Ⅱ)若b=2,求△ABC面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】首屆中國(guó)國(guó)際進(jìn)口博覽會(huì)于2018年11月5日至10日在上海的國(guó)家會(huì)展中心舉辦.國(guó)家展、企業(yè)展、經(jīng)貿(mào)論壇、高新產(chǎn)品匯集……首屆進(jìn)博會(huì)高點(diǎn)紛呈.一個(gè)更加開(kāi)放和自信的中國(guó),正用實(shí)際行動(dòng)為世界構(gòu)筑共同發(fā)展平臺(tái),展現(xiàn)推動(dòng)全球貿(mào)易與合作的中國(guó)方案.
某跨國(guó)公司帶來(lái)了高端智能家居產(chǎn)品參展,供購(gòu)商洽談采購(gòu),并決定大量投放中國(guó)市場(chǎng).已知該產(chǎn)品年固定研發(fā)成本30萬(wàn)美元,每生產(chǎn)一臺(tái)需另投入90美元.設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品萬(wàn)臺(tái)且全部售完,每萬(wàn)臺(tái)的銷(xiāo)售收入為
萬(wàn)美元,
(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)(萬(wàn)美元)關(guān)于年產(chǎn)量
(萬(wàn)臺(tái))的函數(shù)解析式;(利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入-成本)
(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)臺(tái)時(shí),該公司獲得的利潤(rùn)最大?并求出最大利潤(rùn).
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