【題目】已知橢圓
，記
為與原點距離等于
的全體直線所成的集合.問：是否存在常數(shù)
，使得對任意的直線
，均存在
、
，、
分別過
與橢圓
的交點
、
，且有
？并說明理由.
【答案】
【解析】
假設存在滿足題設條件的常數(shù)
.取
為特殊直線：
，且與橢圓
交于
、
兩點.
作以原點
為圓心、為半徑的圓
與
軸的正半軸交于點
.顯然，圓與直線
切于點，且
.
依題意，存在直線
、
，分別過點、，且與圓相切.設切點分別為
、
.
則
、
分別垂直相互平行的直線、.故
為圓的直徑.
從而，
是梯形
的中位線.
由
，知
，
.
因此，點
，且
，
.
又點在橢圓上，由假設知橢圓方程為
.
下面證明：即為所求.
先證明：若，且與橢圓交于點、，則
.
設直線
.
則原點到
的距離為
.
故
.
將直線的方程代入橢圓方程得
.
設
，
.
則由韋達定理得
，
.故
，即.
易證，若直線的斜率不存在，則.
假設、分別與橢圓交于點與
、與
.則
，
，
，且
，
.
故
，即
.
綜上，存在唯一滿足題意.
王后雄學案教材完全解讀系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知
三個內角
所對的邊分別是
，若
.
（1）求角
；
（2）若
的外接圓半徑為2，求
周長的最大值.
【答案】(1) 
；(2) 
.
【解析】試題分析：（1）由正弦定理將邊角關系化為邊的關系
，再根據(jù)余弦定理求角
，（2）先根據(jù)正弦定理求邊,用角表示周長，根據(jù)兩角和正弦公式以及配角公式化為基本三角函數(shù)，最后根據(jù)正弦函數(shù)性質求最大值.
試題解析：（1）由正弦定理得
，
∴
，∴
，即
因為
，則
.
（2）由正弦定理
∴
， 
， 
，
∴周長
∵
，∴
∴當
即
時
∴當
時， 
周長的最大值為
.
【題型】解答題
【結束】
18
【題目】經調查，3個成年人中就有一個高血壓，那么什么是高血壓？血壓多少是正常的？經國際衛(wèi)生組織對大量不同年齡的人群進行血壓調查，得出隨年齡變化，收縮壓的正常值變化情況如下表：
其中： 
， 
， 
（1）請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；
（2）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出
關于
的線性回歸方程
；（
的值精確到0.01）
（3）若規(guī)定，一個人的收縮壓為標準值的0.9~1.06倍，則為血壓正常人群；收縮壓為標準值的1.06~1.12倍，則為輕度高血壓人群；收縮壓為標準值的1.12~1.20倍，則為中度高血壓人群；收縮壓為標準值的1.20倍及以上，則為高度高血壓人群.一位收縮壓為180mmHg的70歲的老人，屬于哪類人群？
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某地統(tǒng)計局調查了10000名居民的月收入，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制了樣本的頻率分布直方圖如圖所示。
（1）求居民月收入在[3000,3500）內的頻率；
（2）根據(jù)頻率分布直方圖求出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；
（3）為了分析居民的月收入與年齡、職業(yè)等方面的關系，必須按月收入再從這10000中用分層抽樣的方法抽出100人做進一步分析，則應從月收入在[2500,3000)內的居民中抽取多少人？
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某縣大潤發(fā)超市為了惠顧新老顧客，決定在2019年元旦來臨之際舉行“慶元旦，迎新年”的抽獎派送禮品活動.為設計一套趣味性抽獎送禮品的活動方案，該超市面向該縣某高中學生征集活動方案.該中學某班數(shù)學興趣小組提供的方案獲得了征用.方案如下：將一個
的正方體各面均涂上紅色，再把它分割成64個相同的小正方體.經過攪拌后，從中任取兩個小正方體，記它們的著色面數(shù)之和為
，記抽獎中獎的禮金為
.
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）凡是元旦當天在超市購買物品的顧客，均可參加抽獎.記抽取的兩個小正方體著色面數(shù)之和為6，設為一等獎，獲得價值50元禮品；記抽取的兩個小正方體著色面數(shù)之和為5，設為二等獎，獲得價值30元禮品；記抽取的兩個小正方體著色面數(shù)之和為4，設為三等獎，獲得價值10元禮品，其他情況不獲獎.求某顧客抽獎一次獲得的禮金的分布列與數(shù)學期望.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在工業(yè)生產中，對一正三角形薄鋼板（厚度不計）進行裁剪可以得到一種梯形鋼板零件，現(xiàn)有一邊長為3（單位：米）的正三角形鋼板（如圖），沿平行于邊
的直線
將
剪去，得到所需的梯形鋼材
,記這個梯形鋼板的周長為
（單位：米），面積為
（單位：平方米）.
（1）求梯形的面積關于它的周長的函數(shù)關系式；
（2）若在生產中，梯形的面積與周長之比（即
）達到最大值時，零件才能符合使用要求，試確定這個梯形的周長為多時，該零件才可以在生產中使用？
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.
（1）當
時，求函數(shù)
在
的單調性；
（2）當
且
時，
，求函數(shù)
在
上的最小值；
（3）當時，
有兩個零點
，
，且
，求證：
.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】半期考試后，班長小王統(tǒng)計了50名同學的數(shù)學成績，繪制頻率分布直方圖如圖所示．
根據(jù)頻率分布直方圖，估計這50名同學的數(shù)學平均成績；
用分層抽樣的方法從成績低于115的同學中抽取6名，再在抽取的這6名同學中任選2名，求這兩名同學數(shù)學成績均在
中的概率．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，其圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為
．
（1）求函數(shù)
的解析式及對稱中心；
（2）將函數(shù)的圖象向左平移
個單位長度，再向上平移
個單位長度得到函數(shù)
的圖象，若關于x的方程
在區(qū)間
上有兩個不相等的實根，求實數(shù)m的取值范圍．
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