Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，曲線參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（Ⅰ）寫出曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）已知點(diǎn)，曲線和曲線交于，兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值.

Answer 1

【答案】(1) ；

(2) 或.

【解析】分析：（Ⅰ）曲線消參能求出其普通方程，曲線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為，代入，能求出曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）將曲線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，整理得，設(shè)，對應(yīng)的參數(shù)分別為，，由題意可得，由此求出.

詳解：解：（Ⅰ）由的參數(shù)方程消去得其普通方程為，

由的極坐標(biāo)方程得，

所以的直角坐標(biāo)方程為.

（Ⅱ）將曲線的參數(shù)方程代入曲線：得，

由得.

設(shè)，對應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，

由題意得，

解得或滿足，

所以實(shí)數(shù)的值為或.