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        1. 已知x∈[0,1],函數(shù)f(x)=x2-ln(x+
          1
          2
          )
          ,g(x)=x3-3a2x-4a.
          (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和值域;
          (2)設(shè)a≤-1,若?x1∈[0,1],總?x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立,求a的取值范圍;
          (3)對于任意的正整數(shù)n,證明ln(
          1
          n
          +
          1
          2
          )>
          1
          n2
          -
          2
          n
          -1.(注:[ln(x+
          1
          2
          )]/=
          1
          x+
          1
          2
          分析:(1)令f′(x)=0可得極值點,列出隨x變化時f′(x),f(x)的變化表,由表可知單調(diào)區(qū)間,根據(jù)單調(diào)性可得最值,進而得到值域;
          (2)利用導數(shù)可判斷g(x)在[0,1]上的單調(diào)性,從而可求值域為[1-4a-3a2,-4a],由題意,得[1-4a-3a2,-4a]?[
          1
          4
          ,ln2]
          ,由此可得不等式組,解出即可;
          (3)構(gòu)造函數(shù)h(x)=(2x+1)-f(x)=-x2+2x+1+ln(x+
          1
          2
          )
          ,利用導數(shù)可判斷h(x)在[0,1]上的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性可證h(x)>h(0)>0,整理該不等式后令x=
          1
          n
          即可;
          解答:解:(1)令f/(x)=2x-
          1
          x+
          1
          2
          =0
          ,解得x=
          1
          2
          ,x=-1舍去.
          由下表:
          x 0 (0,
          1
          2
          1
          2
          1
          2
          ,1)
          1
          f'(x) - 0 +
          f(x) ln2
          1
          4
          1-ln
          3
          2
          可知,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,
          1
          2
          ),遞增區(qū)間是(
          1
          2
          ,1); 
          f(x)在
          1
          2
          處取得極小值,也為最小值,
          1
          4
          =ln
          4e
          1-ln
          3
          2
          =ln
          2e
          3
          <ln2,
          故當x∈[0,1]時,f(x)的值域為[
          1
          4
          ,ln2];
          (2)∵g'(x)=3(x2-a2),
          ∴當a≤-1,x∈(0,1)時,g'(x)<3(1-a2)≤0,
          ∴g(x)為[0,1]上的減函數(shù),從而當x∈[0,1]時有g(shù)(x)∈[g(1),g(0)]=[1-4a-3a2,-4a]. 
          由題意,得[1-4a-3a2,-4a]?[
          1
          4
          ,ln2]
          ,
          1-4a-3a2
          1
          4
          -4a≥ln2
          a≤-1
          ,解得a≤-
          3
          2

          故a的取值范圍為a≤-
          3
          2
          .                               
          (3)構(gòu)造函數(shù)h(x)=(2x+1)-f(x)=-x2+2x+1+ln(x+
          1
          2
          )
          ,
          h′(x)=2-2x+
          2
          2x+1
          =2(1-x)+
          2
          2x+1
          ,
          當x∈[0,1]時,h′(x)>0,∴函數(shù)h(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,
          又h(0)=1-ln2>0,
          ∴x∈[0,1]時,恒有h(x)>h(0)>0,即2x+1>x2-ln(x+
          1
          2
          )
          恒成立,
          故對任意正整數(shù)n,取x=
          1
          n
          ∈[0,1]
          ,有ln(
          1
          n
          +
          1
          2
          )>
          1
          n2
          -
          2
          n
          -1
          點評:本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值,考查轉(zhuǎn)化思想,考查學生分析問題解決問題的能力,解決(3)問的關(guān)鍵是根據(jù)目標式恰當構(gòu)造函數(shù).
          練習冊系列答案
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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知x∈[0,1],函數(shù)f(x)=x2-ln(x+
          12
          )
          ,g(x)=x3-3a2x-4a.
          (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和值域;
          (Ⅱ)設(shè)a≤-1,若?x1∈[0,1],總存在,使得g(x0)=f(x1)成立,求a的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知x∈[0,1],則函數(shù)y=
          x+2
          -
          1-x
          的值域是
           

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知x∈[0,1],則函數(shù)y=
          1-x
          的值域是
          [0,1]
          [0,1]

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知x∈[0,1],則函數(shù)y=
          x+2
          -
          1-x
          的值域是(  )

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