Question

【題目】如圖，正方體是一個棱長為2的空心蔬菜大棚，由8個鋼結構（地面沒有）組合搭建而成的，四個側面及頂上均被可采光的薄膜覆蓋，已知為柱上一點（不在點、處），（），菜農需要在地面正方形內畫出一條曲線將菜地分隔為兩個不同的區(qū)域來種植不同品種的蔬菜以加強管理，現已知點為地面正方形內的曲線上任意一點，設、分別為在點處觀測和的仰角.

（1）若，請說明曲線是何種曲線，為什么？

（2）若為柱的中點，且時，請求出點所在區(qū)域的面積.

Answer 1

【答案】（1），圓的一部分；見解析（2）

【解析】

（1）平面中，以為原點，以為軸建立平面直角坐標系，設，由可得，從而可求出軌跡方程.

（2）由可得，結合為柱的中點可求出在正方形內部，且在內，結合圖形，利用間接法求出區(qū)域面積.

（1）解：在平面中，以為原點，以為軸建立平面直角坐標系，

則，由底面，底面，可知.

則，，設，則，

所以,，又，則，

所以 ，整理得，，

所以曲線是圓的一部分.

（2）由，且均為銳角，則，由題意知，，由，

則在正方形內部，且在內，點所在區(qū)域如圖陰影所示

圓的圓心為，半徑.，所以，

所以，，所以扇形面積，

又，

則陰影的面積.