Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．在以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為．

（Ⅰ）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，若直線與曲線交于，兩點(diǎn)，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）曲線的普通方程為；直線的直角坐標(biāo)方程為；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）消去參數(shù)可得曲線的普通方程，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的方法確定直線的直角坐標(biāo)方程即可；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，點(diǎn)在直線上，聯(lián)立直線的參數(shù)方程與C的直角坐標(biāo)方程，結(jié)合直線的幾何意義可得的值.

（Ⅰ）由，消去參數(shù)可得，故曲線的普通方程為．

由，可得，即，

將，代入上式，可得，

故直線的直角坐標(biāo)方程為．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，點(diǎn)在直線上，可設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

將，代入，化簡(jiǎn)可得，

設(shè)，兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，

所以．