已知
,
分別是橢圓
的左、右焦點(diǎn),關(guān)于直線
的對稱點(diǎn)是圓
的一條直徑的兩個端點(diǎn).
(Ⅰ)求圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)的直線
被橢圓
和圓所截得的弦長分別為
,
.當(dāng)
最大時,求直線的方程.
（Ⅰ）圓
的方程為
；（Ⅱ）直線的方程是
解析試題分析：（Ⅰ）求圓的方程，圓的直徑為
，它的圓心為的中點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，故本題先求出的長，從而得半徑
，的中點(diǎn)
，只需求出它關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，求點(diǎn)關(guān)于線對稱的方法為：兩點(diǎn)連線垂直對稱軸，兩點(diǎn)的中點(diǎn)在對稱軸上，這樣求出圓心
，從而可以寫出圓的方程；（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)的直線被橢圓和圓所截得的弦長分別為,.當(dāng)最大時,求直線的方程，這是直線與二次曲線的位置關(guān)系問題，可采用設(shè)而不求的方法來解，設(shè)直線方程為:
，設(shè)直線與橢圓相交與點(diǎn)
利用弦長公式求出的值，根據(jù)圓的性質(zhì)求出的值，從而得
，可用基本不等式確定最大值時的
的值，就得直線方程．
試題解析：(Ⅰ) 設(shè)圓和圓
關(guān)于直線
對稱,由題意知圓的直徑為
所以圓心
，半徑，圓心與圓心關(guān)于直線對稱
，故圓的方程為；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知(2,0), 設(shè)直線方程為:，
圓心到直線的距離
，由垂徑定理和勾股定理得：
. 設(shè)直線與橢圓相交與點(diǎn) 由
得： 
由韋達(dá)定理可得：
依題意可知：
，令
在
單調(diào)遞增，在
單調(diào)遞減，
當(dāng)
時，
取得最大值，此時直線的方程是
，所以當(dāng)取得最大值時，直線的方程是
考點(diǎn)：橢圓的方程、圓的方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、直線的方程．
快捷英語周周練系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知直線l：
＋4－3m＝0.
(1)求證：不論m為何實(shí)數(shù)，直線l恒過一定點(diǎn)M；
(2)過定點(diǎn)M作一條直線l1，使夾在兩坐標(biāo)軸之間的線段被M點(diǎn)平分，求直線l1的方程．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
根據(jù)下列條件，分別求直線方程：
（1）經(jīng)過點(diǎn)A（3，0）且與直線
垂直；
（2）求經(jīng)過直線
與
的交點(diǎn)，且平行于直線
的直線方程．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
（理）已知⊙
：
和定點(diǎn)
，由⊙外一點(diǎn)
向⊙引切線
，切點(diǎn)為
，且滿足
．
(1)求實(shí)數(shù)
間滿足的等量關(guān)系；
(2)求線段長的最小值；
(3)若以
為圓心所作的⊙與⊙有公共點(diǎn)，試求半徑取最小值時的⊙方程．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
直線
過點(diǎn)P（－2，1），
（1）若直線與直線
平行，求直線的方程；
（2）若點(diǎn)A（－1，－2）到直線的距離為1，求直線的方程。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A
，B
，C
；
（1）求直線AB方程的一般式；
（2）證明△ABC為直角三角形；
（3）求△ABC外接圓方程。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知直線l經(jīng)過A,B兩點(diǎn)，且A(2,1)，
=(4,2).
(1)求直線l的方程；
(2)圓C的圓心在直線l上，并且與x軸相切于(2,0)點(diǎn)，求圓C的方程．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知直線
經(jīng)過直線
與直線
的交點(diǎn)
，且垂直于直線
.
（1）求直線的方程；
（2）求直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積
.
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，
，
，
邊上的中線所在直線方程；
所在直線方程．