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        1. 【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為正方形,平面PAD⊥平面ABCD,點M在線段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD= ,AB=4.(14分)
          (1)求證:M為PB的中點;
          (2)求二面角B﹣PD﹣A的大;
          (3)求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.

          【答案】
          (1)

          證明:如圖,設AC∩BD=O,

          ∵ABCD為正方形,∴O為BD的中點,連接OM,

          ∵PD∥平面MAC,PD平面PBD,平面PBD∩平面AMC=OM,

          ∴PD∥OM,則 ,即M為PB的中點;


          (2)

          解:取AD中點G,

          ∵PA=PD,∴PG⊥AD,

          ∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,

          ∴PG⊥平面ABCD,則PG⊥AD,連接OG,則PG⊥OG,

          由G是AD的中點,O是AC的中點,可得OG∥DC,則OG⊥AD.

          以G為坐標原點,分別以GD、GO、GP所在直線為x、y、z軸距離空間直角坐標系,

          由PA=PD= ,AB=4,得D(2,0,0),A(﹣2,0,0),P(0,0, ),C(2,4,0),B(﹣2,4,0),M(﹣1,2, ),

          ,

          設平面PBD的一個法向量為

          則由 ,得 ,取z= ,得

          取平面PAD的一個法向量為

          ∴cos< >= =

          ∴二面角B﹣PD﹣A的大小為60°;


          (3)

          解: ,平面PAD的一個法向量為

          ∴直線MC與平面BDP所成角的正弦值為|cos< >|=| |=| |=


          【解析】(1.)設AC∩BD=O,則O為BD的中點,連接OM,利用線面平行的性質(zhì)證明OM∥PD,再由平行線截線段成比例可得M為PB的中點;
          (2.)取AD中點G,可得PG⊥AD,再由面面垂直的性質(zhì)可得PG⊥平面ABCD,則PG⊥AD,連接OG,則PG⊥OG,再證明OG⊥AD.以G為坐標原點,分別以GD、GO、GP所在直線為x、y、z軸距離空間直角坐標系,求出平面PBD與平面PAD的一個法向量,由兩法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大;
          (3.)求出 的坐標,由 與平面PBD的法向量所成角的余弦值的絕對值可得直線MC與平面BDP所成角的正弦值.

          練習冊系列答案
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