Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若方程存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根， ，證明： .

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：

（1）先求得函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，由及對取值的討論可得當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.（2）設(shè)， ，可得， 。故原不等式可化為證，等價(jià)于。在此基礎(chǔ)上，令，轉(zhuǎn)化為證成立，構(gòu)造函數(shù)，通過單調(diào)性可得不等式成立。

試題解析：

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

∵

∴.

①當(dāng)時(shí)， ，故在區(qū)間上單調(diào)遞增.

②當(dāng)時(shí)，

則當(dāng)時(shí)， ， 上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， ， 上單調(diào)遞減。

綜上，當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.

（2）由方程存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根， ，可設(shè)，

∵， ，

∴，

∴.

要證，只需證，等價(jià)于，

設(shè)，則上式轉(zhuǎn)化為，

設(shè)，

則，

∴在上單調(diào)遞增，

∴，

∴，

∴.