Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)的軌跡為

（1）求曲線的方程；

（2）設(shè)、、是曲線上的三點(diǎn)．若，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（1）由橢圓定義可知，點(diǎn) 的軌跡 是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為的橢圓，即可求出橢圓的方程；（2）設(shè) ，則 ．由，得 ．因?yàn)?/span>M是橢圓C上一點(diǎn)，所以，

即，得

，故 ．又線段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，所以，

從而線段AB的中點(diǎn)在橢圓 上．

試題解析：解：（1）由橢圓定義可知，

點(diǎn) 的軌跡 是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為的橢圓．…（3分）

故曲線 的方程為

（2）設(shè) ，則 ．

由，得 ．

因?yàn)?/span>M是橢圓C上一點(diǎn)，所以

，

即，

得 ，故 ．

又線段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，

所以 ，

從而線段AB的中點(diǎn)在橢圓 上．