Question

【題目】已知圓C： ，直線l：

（Ⅰ）求直線l所過定點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（Ⅱ）求直線l被圓C所截得的弦長最短時(shí)m的值及最短弦長；

（Ⅲ）已知點(diǎn)，在直線MC上（C為圓心），存在定點(diǎn)N（異于點(diǎn)M），滿足：對于圓C上任一點(diǎn)P，都有為一常數(shù)，試求所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)及該常數(shù)。

Answer 1

【答案】（1）直線過定點(diǎn)（2）（3）

【解析】試題分析：（1）將直線中m合并到一起，然后令系數(shù)及剩余都為0即可得定點(diǎn)（2）直線l被圓C所截得的弦長最短時(shí)即當(dāng)時(shí)（3）由題知，直線的方程為，假設(shè)存在定點(diǎn)滿足題意，則設(shè)， ，得 ，且再根據(jù)圓系方程可得對任意恒成立， 且即可求出結(jié)論

試題解析：

解：（Ⅰ）依題意得，

令且，得

直線過定點(diǎn)

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，所截得弦長最短，由題知，

，得， 由得

圓心到直線的距離為

最短弦長為

（Ⅲ）法一：由題知，直線的方程為，假設(shè)存在定點(diǎn)滿足題意，

則設(shè)， ，得 ，且

整理得，

上式對任意恒成立， 且

解得 或（舍去，與重合）

綜上可知，在直線上存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)

法二：設(shè)直線上的點(diǎn)

取直線與圓的交點(diǎn)，則

取直線與圓的交點(diǎn)，則

令，解得或（舍去，與重合），此時(shí)

若存在這樣的定點(diǎn)滿足題意，則必為，

下證：點(diǎn)滿足題意，

設(shè)圓上任意一點(diǎn)，則

綜上可知，在直線上存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)