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        1. 【題目】已知橢圓,其左、右焦點分別為上頂點為,為坐標原點,過的直線交橢圓兩點,.

          (1)若直線垂直于軸,求的值;

          (2)若,直線的斜率為,則橢圓上是否存在一點,使得關(guān)于直線成軸對稱?如果存在,求出點的坐標;如果不存在,請說明理由;

          (3)設(shè)直線:上總存在點滿足,當(dāng)的取值最小時,求直線的傾斜角.

          【答案】(1)5;(2)答案見解析;(3).

          【解析】試題分析:

          (1)由題意可得,結(jié)合勾股定理可得,.

          (2)由題意可得橢圓方程為,且,的坐標分別為,由對稱性可求得點坐標為,該點不在橢圓上,則橢圓上不存在滿足題意的點.

          (3)由題意可得橢圓方程為,且,的坐標為,設(shè)直線y軸截距式方程,與橢圓方程聯(lián)立有由題意可知點是線段的中點,據(jù)此計算可得

          當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.則直線的傾斜角.

          試題解析:

          (1)因為,則

          ,設(shè)橢圓的半焦距為,則,在直角中,,即

          解得,,所以.

          (2)由,,得,因此橢圓方程為,且,

          的坐標分別為,直線的方程為,設(shè)點坐標為,

          則由已知可得:,解得,而,

          即點 不在橢圓上,

          所以,橢圓上不存在這樣的點,使得關(guān)于直線成軸對稱.

          (3)由,得橢圓方程為,且,的坐標為,所以可設(shè)直線的方程為,代入得:,

          因為點滿足,所以點是線段的中點

          設(shè)的坐標為,則 ,

          因為直線上總存在點滿足,

          所以,且,所以

          當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號.所以當(dāng)時,,此時直線的傾斜角.

          練習(xí)冊系列答案
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