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        1. 【題目】如圖,在矩形中, , 的中點(diǎn), 的中點(diǎn).將沿折起到,使得平面平面(如圖).

          圖1 圖2

          (Ⅰ)求證: ;

          (Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值;

          (Ⅲ)在線段上是否存在點(diǎn),使得平面?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.

          【答案】證明見解析;( ;(Ⅲ) .

          【解析】試題分析:(根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得,由平面平面可得平面,從而可得;(中點(diǎn)為,連結(jié)由矩形性質(zhì), ,可知,由(Ⅰ)可知, ,為原點(diǎn), , , 軸建立坐標(biāo)系,求出平面的一個(gè)法向量及直線的方向向量,利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果;Ⅲ)假設(shè)在線段上存在點(diǎn),滿足平面,設(shè)利用直線與平面的法向量垂直,數(shù)量積為零,列方程求解即可.

          .

          試題解析(Ⅰ)如圖,在矩形中,

          , 中點(diǎn), ,

          的中點(diǎn),

          由題意可知, ,

          平面平面

          圖1 圖2

          平面平面,平面,

          平面,

          平面,

          (Ⅱ)取中點(diǎn)為,連結(jié),

          由矩形性質(zhì), ,可知

          由(Ⅰ)可知, ,

          為原點(diǎn), 軸, 軸, 軸建立坐標(biāo)系,

          中,由,則,

          所以

          ,,

          設(shè)平面的一個(gè)法向量為,

          ,,則

          所以,

          設(shè)直線與平面所成角為,

          ,

          所以直線與平面所成角的正弦值為.

          (Ⅲ)假設(shè)在線段上存在點(diǎn),滿足平面

          設(shè),

          ,,所以

          ,,

          平面,則,

          所以,解得

          所以.

          【方法點(diǎn)晴】本題主要考查面面垂直的性質(zhì)以及利用空間向量求線面角,屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),求出相應(yīng)直線的方向向量;(3)設(shè)出相應(yīng)平面的法向量,利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.

          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】定義函數(shù)(其中為自變量,為常數(shù)).

          (Ⅰ)若當(dāng)時(shí),函數(shù)的最小值為-1,求實(shí)數(shù)的值;

          (Ⅱ)設(shè)全集,已知集合,,若集合,滿足,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如圖,在長方體中,,,MAB的中點(diǎn),點(diǎn)P在線段上,點(diǎn)P到直線的距離的最小值為________.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比,收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱,測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位:kg),其頻率分布直方圖如下:

          (1)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖填寫下面列聯(lián)表,從等高條形圖中判斷箱產(chǎn)量是否與新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法有關(guān);

          (2)根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)?

          箱產(chǎn)量<50kg

          箱產(chǎn)量≥50kg

          舊養(yǎng)殖法

          新養(yǎng)殖法

          參考公式:

          (1)給定臨界值表

          P(K)

          0.50

          0.40

          0.25

          0.15

          0.10

          0.05

          0.025

          0.010

          0.005

          0.001

          0.455

          0.708

          1.323

          2.072

          2.706

          3.841

          5.024

          6.635

          7.879

          10.828

          (2)其中為樣本容量.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】判斷下列命題的真假:

          1)存在兩個(gè)無理數(shù),它們的乘積是有理數(shù);

          2)如果實(shí)數(shù)集的子集A是有限集,則A中的元素一定有最大值;

          3)沒有一個(gè)無理數(shù)不是實(shí)數(shù);

          4)如果一個(gè)四邊形的對角線相等,則這個(gè)四邊形是矩形;

          5)集合A是集合的子集;

          6)集合是集合A的子集.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】已知橢圓的離心率為,且過點(diǎn).

          (Ⅰ)求橢圓的方程;

          (Ⅱ)過橢圓的左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),直線過坐標(biāo)原點(diǎn)且與直線的斜率互為相反數(shù).若直線與橢圓交于兩點(diǎn)且均不與點(diǎn)重合,設(shè)直線軸所成的銳角為,直線軸所成的銳角為,判斷的大小關(guān)系并加以證明.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】已知圓C.

          1)求經(jīng)過點(diǎn)且與圓C相切的直線方程;

          2)設(shè)直線與圓C相交于A,B兩點(diǎn),,求實(shí)數(shù)n的值;

          3)若點(diǎn)在以為圓心,以1為半徑的圓上,距離為4的兩點(diǎn)P,Q在圓C上,求的最小值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】為了了解某省各景點(diǎn)在大眾中的熟知度,隨機(jī)對15~65歲的人群抽樣了人,回答問題“某省有哪幾個(gè)著名的旅游景點(diǎn)?”統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下圖表

          組號

          分組

          回答正確

          的人數(shù)

          回答正確的人數(shù)

          占本組的頻率

          第1組

          [15,25)

          0.5

          第2組

          [25,35)

          18

          第3組

          [35,45)

          0.9

          第4組

          [45,55)

          9

          0.36

          第5組

          [55,65]

          3

          (1)分別求出的值;

          (2)從第2,3,4組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取6人,求第2,3,4組每組各抽取多少人?

          (3)在(2)抽取的6人中隨機(jī)抽取2人,求所抽取的人中恰好沒有第3組人的概率.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如圖1,在△中,,分別為,的中點(diǎn),的中點(diǎn),,將△沿折起到△的位置,使得平面平面,如圖2.

          (Ⅰ)求證:;

          (Ⅱ)求直線和平面所成角的正弦值;

          (Ⅲ)線段上是否存在點(diǎn),使得直線所成角的余弦值為?若存在,求出的值;若不存在,說明理由

          圖1 圖2

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          同步練習(xí)冊答案