Question

定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)y=f（x）滿足f（x+5）=f（-x），（2x-5）f′（x）＞0．已知x₁＜x₂，則“f（x₁）＞f（x₂）”是“x₁+x₂＜5”的

充分必要

條件．

Answer 1

分析：求出函數(shù)y=f（x）圖象的對(duì)稱軸，然后根據(jù)（2x-5）f'（x）＞0，判定函數(shù)在對(duì)稱軸兩側(cè)的單調(diào)性，最后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性對(duì)充分性和必要性分別加以驗(yàn)證，即可得到本題答案．

解答：解：∵f（5+x）=f（-x），∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于x=

5

2

對(duì)稱
∵（2x-5）f'（x）＞0，
∴x＞

5

2

時(shí)，f'（x）＞0，可得函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＜

5

2

時(shí)，f'（x）＜0，可得函數(shù)f（x）單調(diào)遞減
①當(dāng)f（x₁）＞f（x₂）時(shí)，結(jié)合x₁＜x₂，由函數(shù)單調(diào)性可得

5

2

≤x₂＜5-x₁或x₁＜x₂＜

5

2

∴x₁+x₂＜5成立，故充分性成立；
②當(dāng)x₁+x₂＜5時(shí)，因?yàn)閤₁＜x₂，必有x₁＜5-x₂≤

5

2

成立，
所以結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可得f（x₁）＞f（x₂）成立，故必要性成立
綜上所述，“f（x₁）＞f（x₂）”是“x₁+x₂＜5”的充分必要條件．
故答案為：充分必要

點(diǎn)評(píng)：本題給出函數(shù)單調(diào)性的命題，要我們進(jìn)行充分必要性的判斷，主要考查函數(shù)的單調(diào)性、用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)和充分必要條件的判定等知識(shí)，屬于屬中檔題．