Question

（2013•湛江一模）設(shè)變量x，y滿足約束條件

x+y≤4 x-y≤2 x≥0 y≥0

，則其目標(biāo)函數(shù)z=mx+y僅在點(diǎn)（3，1）處取得最大值，則m的取值范圍是

（1，+∞）

．

Answer 1

分析：作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的四邊形OABC及其內(nèi)部，再將目標(biāo)函數(shù)z=mx+y對(duì)應(yīng)的直線l進(jìn)行平移，因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)B（3，1）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=mx+y取得最大值，所以直線l的斜率應(yīng)該小于直線BC的斜率．由此建立關(guān)于m的不等式，解之即可得到實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：作出不等式組

x+y≤4 x-y≤2 x≥0 y≥0

表示的平面區(qū)域，
得到如圖的四邊形OABC及其內(nèi)部，其中A（2，0），B（3，1），C（0，4），O（0，0）
設(shè)z=F（x，y）=mx+y，將直線l：z=mx+y平移，可得
若當(dāng)且僅當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)B（3，1）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=mx+y取得最大值
則直線l的斜率-m＜0且-m＜k_BC=-1，解之得m＞1
因此，m的取值范圍是（1，+∞）
故答案為：（1，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題給出二元一次不等式組，求在目標(biāo)函數(shù)z=mx+y的最優(yōu)解唯一時(shí)求參數(shù)m的取值范圍，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．