Question

【題目】如圖1，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，點E為AD中點，沿BE將△ABE折起至△PBE，如圖2所示，點P在面BCDE的射影O落在BE上．
（Ⅰ）求證：BP⊥CE；
（Ⅱ）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由條件，點P在平面BCDE的射影O落在BE上， ∴平面PBE⊥平面BCDE，易知BE⊥CE，
∴CE⊥平面PBE，而BP平面PBE，
∴PB⊥CE．
（Ⅱ）以O(shè)為坐標(biāo)原點，以過點O且平行于CD的直線為x軸，過點O且平行于BC的直線為y軸，直線PO為z軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系．

則 ， ， ，
設(shè)平面PCD的法向量為
則 ，即 ，令 ，可得
設(shè)平面PBC的法向量為
則 ，即 ，令 ，可得 ∴
考慮到二面角B﹣PC﹣D為鈍二面角，則二面角B﹣PC﹣D的余弦值為
【解析】（Ⅰ）點P在平面BCDE的射影O落在BE上，證明CE⊥平面PBE，推出PB⊥CE．（Ⅱ）以O(shè)為坐標(biāo)原點，以過點O且平行于CD的直線為x軸，過點O且平行于BC的直線為y軸，直線PO為z軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系．求出平面PCD的法向量，平面PBC的法向量利用空間向量的數(shù)量積求解二面角B﹣PC﹣D的余弦值即可．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行才能正確解答此題．