Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）當時，對于一切，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)總存在唯一零點，求的取值范圍；

（2）若區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；

（3）當，時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點為，判斷數(shù)列，，…，，…的增減性，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3），，…，，…是遞增數(shù)列，理由見解析.

【解析】

（1）當時，化簡在區(qū)間內(nèi)有唯一零點及函數(shù)的單調(diào)性可知且；從而可得對于恒成立且，從而求得的取值范圍；

（2）由在區(qū)間，上是單調(diào)函數(shù)，利用單調(diào)性的定義可設(shè)，從而化為或對于恒成立，化為恒成立問題解得．

（3）當，時，，，

從而可得；再由得，

從而可得，

可證明；再由函數(shù)在區(qū)間，上是增函數(shù)知；從而證明．

（1）當時，在區(qū)間內(nèi)有唯一零點，

因為函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，

所以且；

即且，

由對于恒成立得；

所以的取值范圍為.

（2）在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，設(shè)，

，

由題知或對于恒成立，

因為，

所以或.

（3）數(shù)列，，…，，…是遞增數(shù)列，證明如下：

當，時，，，

在區(qū)間上的零點是，

所以；

由知，，

所以，

設(shè)在區(qū)間上的零點為，

所以，

即；

又函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，

所以；

即數(shù)列，，…，，…是遞增數(shù)列.