Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面為梯形， 底面， ， ， ， ．　

（1）求證：平面 平面；

（2）設(shè)為上的一點(diǎn)，滿足，若直線與平面所成角的正切值為，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】試題分析：（I）由直角三角形可得，由線面垂直的性質(zhì)可得，從而可得平面進(jìn)而可得結(jié)論；（II）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 分別軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的一個(gè)法向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式，可得結(jié)果.

試題解析：（I）由，可得，

又

從而， 底面，

， 平面所以平面平面.

（II）由（I）可知為與底面所成角.

所以，所以

又及，可得,

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 分別軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則.

設(shè)平面的法向量.

則由得取

同理平面的法向量為

所以

又二面角為銳角.所以二面角余弦值為.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用空間垂直關(guān)系以及空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.