Question

【題目】已知函數(shù)（，，為常數(shù)），當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)實(shí)根；當(dāng)時(shí)，只有3個(gè)相異實(shí)根，現(xiàn)給出下列4個(gè)命題：

①和有一個(gè)相同的實(shí)根；

②和有一個(gè)相同的實(shí)根；

③的任一實(shí)根大于的任一實(shí)根；

④的任一實(shí)根小于的任一實(shí)根.

其中真命題的序號(hào)是______.

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

根據(jù)方程根的分布情況，繪制出三次函數(shù)的圖像，然后根據(jù)三次函數(shù)圖像與直線的交點(diǎn)情況判斷命題是否為真命題.

由題中條件可以推出，函數(shù)的極大值為，極小值為，

函數(shù)的圖像先增加后減小再增加，繪制出函數(shù)的圖像如下圖所示，

對(duì)于命題①，②，根據(jù)的圖像在極值點(diǎn)處的，

發(fā)現(xiàn)分別與，有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，

故命題①，②為真命題，

對(duì)于命題③，根據(jù)的圖像與直線，和的交點(diǎn)，

在函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間的交點(diǎn)不滿足命題，

故命題③為假命題，

對(duì)于命題④，根據(jù)的圖像與直線，和的交點(diǎn)，

可知交點(diǎn)滿足命題，故命題④為真命題.

故答案為：①②④.