Question

【題目】已知函數(shù)，，且.

（1）若為整數(shù)，且，試確定一個滿足條件的的值；

（2）設(shè)的反函數(shù)為，若，試確定的取值范圍；

（3）若，此時的反函數(shù)為，令，若對一切實(shí)數(shù)，，，不等式恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）2 （2） （3）

【解析】

（1）將代入方程,結(jié)合指數(shù)式與對數(shù)式的轉(zhuǎn)化,即可的關(guān)于的方程,化簡后即可求得一個的值.

（2）根據(jù)所給,可求得反函數(shù)解析式.根據(jù)不等式,先求得右端的最小值及相應(yīng)的,將代入左段并解不等式即可求得的取值范圍

（3）代入可得反函數(shù)解析式.將反函數(shù)解析代入,即可求得的解析式.利用換元法,將化為的表達(dá)式.結(jié)合反比例函數(shù)單調(diào)性及不等式,即可求得的取值范圍.

（1）為整數(shù), 且.且

代入可得

即

化簡可得

則

所以

故滿足條件的的值可以是

（2）的反函數(shù)為

則

令,代入可得

則,

所以平方化簡可得

所以

則

成立,則即可

令,令,

即,由打勾函數(shù)圖像與性質(zhì)可知當(dāng)時為單調(diào)遞增函數(shù)

所以當(dāng)時

則不等式化為

即,且且.

化簡可得

即,解得

綜上可知,的取值范圍為

（3）由（2）可知

當(dāng)時,

代入

可得

令

則

當(dāng),即時,函數(shù)在上單調(diào)遞增

所以此時的值域為

若滿足對一切實(shí)數(shù),,,不等式恒成立

則只需即可,解得

當(dāng),即時, ,不等式恒成立

當(dāng)時,即.函數(shù)在上單調(diào)遞減

此時函數(shù)的值域為

若滿足對一切實(shí)數(shù),,,不等式恒成立

則只需,解不等式可得

綜上所述, 的取值范圍為