Question

【題目】已知， ，其中是自然常數(shù)， .

（1）當時，求的極值，并證明恒成立；

（2）是否存在實數(shù)，使的最小值為 ？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2) .

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出f（x）的極小值，令，求出h（x）的最大值，從而證出結(jié)論即可；（2）求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)f（x）的最小值，求出a的值即可．

試題解析：

（1）證明：∵， .∴當時， ，此時單調(diào)遞減；當時， ，此時單調(diào)遞增.∴的極小值為.即在上的最小值為 .令， ，當時， ， 在上單調(diào)遞增，∴，∴恒成立.

（2）假設(shè)存在實數(shù)，使有最小值 ， .

①當時， 在上單調(diào)遞減， ， （舍去），∴時，不存在使的最小值為3.

②當時， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴， ，滿足條件.

③當時， 在上單調(diào)遞減， ，（舍去），∴時，不存在使的最小值為 .

綜上，存在實數(shù)，使得當時， 有最小值 .