Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線、分別與橢圓交于點(diǎn)、點(diǎn)，且，試判斷直線與圓：的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）直線與圓：相離.證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）對(duì)橢圓的焦點(diǎn)位置進(jìn)行分類(lèi)討論，并分別設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)離心率和橢圓過(guò)點(diǎn)，分別求出對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）對(duì)點(diǎn)，分成在坐標(biāo)軸上和不在坐標(biāo)軸上兩種情況分別求解，再利用點(diǎn)到直線的距離公式，判斷直線與圓的位置關(guān)系即可.

（1）①當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)橢圓的方程為：，

由得，∴，

將點(diǎn)代入可得，，

∴橢圓的方程為：.

②當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)橢圓的方程為：，

由可得，∴，

將點(diǎn)代入可得，，

∴橢圓的方程為：.

（2）直線與圓：相離，

由（1）知，橢圓的方程為：，

當(dāng)，在坐標(biāo)軸上時(shí)，容易求得直線與圓：相離；

當(dāng)，不在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)直線：，則直線：，

聯(lián)立，可得，，∴，

聯(lián)立，可得，，∴，

根據(jù)面積關(guān)系可得圓心到直線的距離的平方，

∴直線與圓：相離.