Question

【題目】試討論函數(shù)f（x）= 在區(qū)間[0，1]上的單調(diào)性．

Answer 1

【答案】解：f（x）= 在區(qū)間[0，1]上是減函數(shù)，理由如下：
證法一：設(shè)x1、x2∈﹣1，1]且x1＜x2 ， 即﹣1≤x1＜x2≤1．
f（x1）﹣f（x2）= ﹣ = =﹣ ，
∵x2﹣x1＞0， ＞0，
∴當(dāng)x1＞0，x2＞0時(shí)，x1+x2＞0，
那么f（x1）＞f（x2）．
故f（x）= 在區(qū)間[0，1]上是減函數(shù)；
證法二：∵函數(shù)f（x）= ，令y= ，u=1﹣x2 ，
則y′= ，u′=﹣2x．
∴f′（x）= ，
當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，f′（x）≤0恒成立，f（x）＞0恒成立
當(dāng)x=1時(shí)，f（x）=0
故f（x）= 在區(qū)間[0，1]上是減函數(shù)
【解析】f（x）= 在區(qū)間[0，1]上是減函數(shù)，理由如下：
證法一：設(shè)x1、x2∈﹣1，1]且x1＜x2 ， 作差判斷出f（x1）＞f（x2）可得：f（x）= 在區(qū)間[0，1]上是減函數(shù)；
證法二：求導(dǎo)，根據(jù)當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，f′（x）≤0恒成立，f（x）＞0恒成立，當(dāng)x=1時(shí)，f（x）=0可得：f（x）= 在區(qū)間[0，1]上是減函數(shù)；
【考點(diǎn)精析】掌握函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本，需要知道單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較；一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．