Question

【題目】如圖，已知橢圓： 的離心率為， 、為橢圓的左右頂點(diǎn)，焦點(diǎn)到短軸端點(diǎn)的距離為2， 、為橢圓上異于、的兩點(diǎn)，且直線的斜率等于直線斜率的2倍．

（Ⅰ）求證：直線與直線的斜率乘積為定值；

（Ⅱ）求三角形的面積的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由橢圓的方程可得點(diǎn)P,A,B的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)式求直線斜率的方法可求出BP,BQ的斜率乘積為定值-1；（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)， ， ， ，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)， ，故綜合的最大值為.

試題解析：

（Ⅰ）．

，故．

（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)： 與軸的交點(diǎn)為，

代入橢圓方程得，

設(shè)， ，則， ，

由，得，

得，

，得或．　

或，所以過定點(diǎn)或，

點(diǎn)為右端點(diǎn)，舍去，

，

令（），

， ， ，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)， ， ，

，即，解得， ，

，

所以的最大值為.