Question

設(shè)是函數(shù)的一個極值點。
（1）求與的關(guān)系式（用表示），并求的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)，若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍。

Answer 1

（1）；
①當時，單增區(qū)間為：；單減區(qū)間為：、；
②當時，單增區(qū)間為：；單減區(qū)間為：、；
（2）的取值范圍為。

試題分析：（1）∵ ∴
      2分
由題意得：，即，    3分
∴且
令得，
∵是函數(shù)的一個極值點
∴，即
故與的關(guān)系式  5分
①當時，，由得單增區(qū)間為：；
由得單減區(qū)間為：、；
②當時，，由得單增區(qū)間為：；
由得單減區(qū)間為：、；    8分
（2）由（1）知：當時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，
∴在上的值域為   10分
易知在上是增函數(shù)
∴在上的值域為  12分
由于，
又∵要存在，使得成立，
∴必須且只須解得： 
所以：的取值范圍為    14分
點評：典型題，本題屬于導數(shù)應(yīng)用中的基本問題，像涉及恒成立問題，往往通過研究函數(shù)的最值達到解題目的。證明不等式問題，往往通過構(gòu)造新函數(shù)，研究其單調(diào)性及最值，而達到目的。